Osaamisvaatimukset

Pronssi

Yhtälöparin muodostaminen sanallisessa tehtävässä
Suhde
Suhteessa jako
Yhteenlaskumenetelmä uutena asiana

Hopea

Soveltaa

Kulta

Suhde yhtälöparin avulla
Suhteessa jako yhtälöparin avulla
Yhtälöparilla yksi ratkaisu
Yhtälöparilla ei ratkaisua
Yhtälöparilla äärettömän monta ratkaisua

Testi

Ota kynä ja kumi valmiiksi.

Matematiikassa käytettävää sanastoa

Olkoon on yksikkömuoto. Kyseessä on siis yksi muuttuja.

Esimerkiksi Olkoon \(x = 5\).

Olkoot on monikkomuoto. Kyseessä on monta muuttujaa.

Esimerkiksi Olkoot \(x =5\) ja \(y= 6\).

Teoria

Sanalliset yhtälöparit

Valitaan tuntemattomiksi x ja y. Muodostetaan niiden avulla kaksi yhtälöä, jotka kuvaavat tilannetta. Ratkaistaan yhtälöt, jolloin muuttujien arvot selviävät.

Esimerkki 1

Olkoot kahden luvun summa \(120\) ja erotus \(74\). Selvitä luvut yhtälöparin avulla.

Valitaan muuttujat

Tehtävässä on kaksi tuntematonta. Merkitään tuntemattomia kirjaimilla x ja y.

\(x =\) ensimmäinen luku

\(y =\) toinen luku

Muodostetaan yhtälöt

Muodostetaan kaksi yhtälöä. Kahden luvun summa (yhteenlasku) on

\(x+y=120 \)

Kahden luvun erotus (vähennyslasku) on

\(x-y=74\)

Saadaan yhtälöpari

\(\begin{cases}x+y=120\\x-y=74\end{cases}\)

Esimerkki 2

Kahden luvun summa on \(16\). Toinen luku on kolme kertaa suurempi kuin toinen. Mistä luvuista on kyse?

Valitaan muuttujat

Valitaan vapaasti kaksi muuttujaa.  Yleensä ne ovat x ja y.

\(y =\) pienempi luku

Valitaan, kumpi luku on suurempi ja kumpi on pienempi.

\(x =\) suurempi luku

Voisi olla myös toisin päin. Sillä ei väliä.

Muodostetaan yhtälöt

Muodostetaan kaksi yhtälöä. Kahden luvun x ja y summa on 16.

\(x+y =16\)

Toinen luku x on kolme kertaa suurempi kuin toinen y.

\(x = 3y\)

Suurempi luku =  kolme kertaa pienempi luku.


Tämän ymmärtämisessä on usein haasteita. Voit ajatella rahan avulla.

Jos kahdella ihmisellä (x ja y) on rahaa 16 euroa, niin x+y=16 ja toisella (x) on kolme kertaa enemmän rahaa kuin toisella (y), niin silloin toisen rahamäärä (x) on sama kuin toisen (y) kolminkertaisena, eli 3y. 

x=3y

Saadaan yhtälöpari

\(\begin{cases}x+y=16\\x=3y\end{cases}\)

Ratkaistaan sijoittamalla

\(x+y=16|| \text{ sij } x=3y\)

\(y+3y=16\)

\(4y=16||:4\)

\(y=4\)

Ratkaistaan vielä x sijoittamalla saatu y:n arvo toiseen yhtälöön.

\(x=3y|| \text{ sij } y=4\)

\(x=3\cdot4\)

\(x=12\)

Luvut ovat \(4\) ja \(12\).

Suhde ja suhteessa jako

Kun jotain jaetaan suhteessa, kokonaisuus muodostuu osien summasta. Esimerkiksi suhteessa 1:6 on yhteensä 7 osaa.

Esimerkki 3

Kuvassa oleva lauta on jaettu suhteessa \(1:4\). Laske osien suuruudet, kun laudan pituus on \(150\) m.

Suhteessa osia on yhteenä 1+4 = 5, joten yhden osan suuruus saadaan jakolaskulla.

\(\frac{150}{5}=30\).

Näin osien suuruudet ovat \(30\) m ja \(4 \cdot 30 \text{ m} = 120 \text{ m}\).

Teoria loppu.

Nettitehtävät

← Edellinen Kappale