Osaamisvaatimukset
Pronssi
- Alfa
- Beta
- Delta
- Kolmion kulmien summa
- Suorakulmainen kolmio
- Hypotenuusa
- Kateetti
- Pythagoraan lause
- Milloin kolmio on suorakulmainen?
- Neliöjuuri
Hopea
- Kateetin pituus Pythagoraan lauseella
Kulta
- Kolmion pinta-ala
- Tasasivuinen kolmio
- Tasakylkinen kolmio
- Lävistäjä
- Huippukulma
- Kantakulma
- Suunnikas
- Suunnikkaan pinta-ala
- Puolisuunnikas
- Puolisuunnikkaan pinta-ala
Päässälaskut
Teoria
Teoria
Kolmion kulmien nimet
Kolmion kulmien nimissä käytetään kreikkalaisia aakkosia.
alfa \(\alpha\)
beta \(\beta\)
delta \(\delta\)
Kolmion kulmien summa
Kolmion kulmien summa on aina \(180^o\).
Suorakulmainen kolmio
Kolmio on suorakulmainen, jos siinä on \(90^o\) kulma.
Esimerkki 1
Kolmiossa kaksi kulmaa ovat \(70^o\) ja \(30^o\). Onko kolmio suorakulmainen?
Kolmas kulma on \(180^o-70^o-30^o=80^o\).
Koska kolmas kulma on \(80^o\), kolmio ei ole suorakulmainen.
Suorakulmaisen kolmion käsitteitä
Hypotenuusa
Suorakulmaisen kolmion pisin sivu on nimeltään hypotenuusa, merkitään kirjaimella \( c\).
Kateetti
Lyhyemmät sivut ovat kateetteja, merkitään kirjaimilla \(a\) ja \(b\).
Piirrä kuva vihkoon.
Kateettien muodostama kulma on suorakulma ja hypotenuusa on aina tätä kulmaa vastapäätä.
Pythagoraan lause
Suorakulmaisen kolmion kateettien neliöiden yhteenlasketty pinta-ala on täsmälleen yhtä suuri kuin hypotenuusan neliön pinta-ala.
\(a^2 + b^2 = c^2\)
\(a \cdot a + b \cdot b = c \cdot c \)
eli
\( c^2 =a^2 + b^2 \)
\(c \cdot c = a \cdot a + b \cdot b \)
Milloin kolmio on suorakulmainen?
Kolmio on suorakulmainen, jos Pythagoraan lause on tosi!
Esimerkki 2
Kolmion sivut ovat \(3\) m, \(4\) m ja \(5\) m. Onko kolmio suorakulmainen?
Ratkaisu neljällä vaiheella
1. Kuva ja tiedot
Mallikuvan ei tarvitse olla mittakaavassa.
Hypotenuusa on aina pisin sivu.
\(a^2 + b^2 = c^2\)
Jos Pythagoraan lause on totta, on kolmio suorakulmainen.
3. Laskut
\(a^2 + b^2 = c^2\)
\(a \cdot a + b \cdot b = c \cdot c\)
\(3 \cdot 3 + 4 \cdot 4 = 5 \cdot 5\)
\(9 + 16 =25\)
\(25 = 25\)
Vaihtoehtoisesti voit merkitä laskun seuraavasti
\(a^2 + b^2 = c^2\)
\(3^2 + 4^2 = 5^2\)
\(9 + 16 =25\)
\(25 = 25\)
4. Vastaus
Pythagoraan lause on voimassa, joten kolmio on suorakulmainen.
Esimerkki 3
Kolmoin kateetit ovat \(6\) m ja \(9\) m. Kuinka pitkä on hypotenuusa?
1. Kuva ja tiedot
\(a^2 + b^2 = c^2\)
3 Laskut
\(a^2 + b^2 = c^2\)
\(6 \cdot 6 + 9 \cdot 9 = c \cdot c\)
\(36 + 81 = c \cdot c\)
\(117 = c^2 ||√\)
Otetaan neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.
Tietoa neliöjuuresta!
Neliöjuuren √ avulla saadaan sivun pituus laskettua, kun neliön pinta-ala tiedetään.
Neliöjuuri luvusta 81 on ±9 (√81=±9), koska 9*9=81 ja (-9)*(-9)=81.
Yhtälössä neliöjuuri antaa vastauksena sekä positiivisen että negatiivisen luvun. Merkitään lyhyesti ±.
Alla olevassa luvussa | on kohta, josta luku pyöristetään ("leikataan poikki").
Pituus voi olla vain postitiivinen, joten usein vastaus annetaan suoraan positiivisena ilman ± merkkiä.
\(± 10|,816… = c\)
Laskujen välivaiheisiin aina kolme desimaalia ja kolme pistettä… Ei pyöristetä viimeistä numeroa, koska kolme pistettä.
\(c \approx 11\)
4. Vastaus
Hypotenuusa on \(11\) m.
Yhteenlaskussa vastaus annetaan epätarkimman lähtöarvon mukaisesti, eli metrin tarkkuudella. Toisaalta kyseessä on myös yksiköllisten lukujen kertolasku, joten vastauksen voisi pyöristää myös arvoon 10 m.
Teoria loppu.