Teoria

Yhdenmuotoisten kappaleiden pituuden ratkaiseminen

Muodostetaan vastinsivuista kaksi suhdetta, ja merkitään ne yhtäsuuriksi. Näin saadaan verrantoyhtälö.

\(\frac{\text{isompi}}{\text{pienempi}}=\frac{\text{isompi}}{\text{pienempi}}\)

tai

\(\frac{\text{pienempi}}{\text{isompi}}=\frac{\text{pienempi}}{\text{isompi}}\)

Esimerkki 1

Kolmiot ovat yhdenmuotoisia. Ratkaise \(x\):n pituus.

Muodostetaan ja ratkaistaan verranto. Ratkaisussa otettu pienemmän suhde suurempaan, mutta suhteet voisi ottaa myös toisinpäin.

\(\frac{2}{4}=\frac{x}{5}|| \cdot \text{rk}\)

\(4x =10|| :4\)

\(x =\frac{10}{4}\)

\(x =2,5\)

rk = ristiinkerronta, joka voidaan merkitä myös kahdella ristissä olevalla nuolella.

Ristiinkerronnassa otetaan x:tä kiinni, ja kerrotaan se ensin. Näin saadaan x vasemmalle puolelle, ja luku oikealle puolelle.

Mittakaava

Maastokartoissa suhde, esimerkiksi 1:10 000, ilmoittaa matkaa kartalla suhteessa todellisuuteen.

\(\frac{kartalla}{\text{todellisuudessa tai luonnossa}}\)

Esimerkki 2

Kartan mittasuhde on \(1:15000\). Kuinka pitkä on pelto, kun sen pituus kartalla on \(2\) cm.

Merkitään pellon pituutta maastossa kirjaimella x, ja muodostetaan verranto.

\(\frac{\text{kartalla}}{\text{maastossa (todellisuus)}}=\frac{\text{kartalla}}{\text{maastossa (todellisuus)}}\)

\(\frac{1}{15000}=\frac{2}{x}||\cdot \text{rk}\)

\(x=30000\)

Pellon pituus on \(30000\) cm, eli \(300\) m.

Mittakaava pienoismallissa

Pienoismalleissa suhde ilmoittaa koon \(\frac{\text{pienoismallissa}}{\text{todellisuudessa}}\).

Esimerkki 3

Pienoismallin suhde on \(1:18\). Auton renkaan halkaisija on \(40\ cm\). Kuinka suuri on rengas pienoismallissa?

Merkitään x:llä renkaan kokoa pienoismallissa. Muodostetaan verranto.

\(\frac{\text{pienoismallissa}}{\text{todellisuudessa}}=\frac{\text{pienoismallissa}}{\text{todellisuudessa}}\)

\(\frac{1}{18}=\frac{x}{40}||\cdot \text{rk}\)

\(18x=40||:18\)

\(x=2,222\)

Rengas on noin \(2\) cm.

Yhtenevät kappaleet

Kappaleet ovat yhtenevät, jos ne ovat yhdenmuotoiset ja samankokoiset.

Suhteen arvo

Suhteen arvo kertoo, kuinka monta kertaa toinen jäsen (nimittäjä) mahtuu ensimmäiseen jäseneen (osoittaja).

\(\frac{\text{1. jäsen}}{\text{2. jäsen}}=\text{suhteen arvo}\)

Teoria loppu.

Vihkotehtävät

Teoriakooste vihkoon kopioitavaksi

Vihkotehtävät

H1. Ratkaise \(x\):n ja \(y\):n pituudet. Kuviot ovat yhdenmuotoiset.

H2. Joki on kartalla \(5,5\) cm. Kuinka pitkä joki on luonnossa, kun mittasuhde on

a) 1:10 000

b) 1:25 000?

H3. Kaksi suorakulmaista kolmiota ovat yhdenmuotoiset. Kuinka pitkä on suuremman kolmion hypotenuusa, kun pienemmän kolmion hypotenuusa on \(6\) cm. Lisäksi tiedetään, että kolmioiden lyhyemmät kateetit ovat \(4\) cm ja \(3\) cm.

H4. Formula \(1\) autosta tehdään pienoismalli mittasuhteessa \(1:25\).

a) Kuinka leveä on pienoismalli, kun todellisuudessa auton leveys on \(1,75\) m?

b) Pienosmallin leveys on \(1,75\) cm. Kuinka leveä auto on todellisuudessa?

c) Koiran ja kissan painojen suhde on \(4\). Kuinka paljon kissa painaa, kun koiran paino on \(24\) kg?

H5. Ratkaise \(x, y\) ja \(z\).

H6.a) Ratkaise \(x\):n pituus, kun kolmiot ovat yhdenmuotoisia.

b) Ampiaisen ja kärpäsen painojen suhde on \(7,5\). Laske ampiaisen paino, kun kärpänen painaa \(3,5\) g.

H7. Tie on kartalla \(10,5\) cm. Kuinka pitkä tie on luonnossa, kun mittasuhde on

a) \(1:100 000\)

b) \(1:300\)?

H8. Kolmiot ovat yhdenmuotoisia. Ratkaise \(x\).

Valinnanpaikka Hopea

Testi

H9. Formula \(1\) autosta tehdään pienoismalli mittasuhteessa \(1:15\).

a) Kuinka leveä on pienoismallin auto, kun todellisuudessa auton leveys on \(1,65\) m?

b) Pienosmallissa auton pituus on \(15\) cm. Kunka leveä auto on todellisuudessa?

H10. Kuvassa isompi etusormi on \(7\) cm ja pienempi \(5\) cm.

a) Kuinka suuri on pienemmän käden peukalo, kun suuremman käden peukalo on \(5\) cm?

b) Kuinka pitkä on isomman käden pikkurilli, kun pienemmän käden pikkurilli on \(2\) cm?