Teoria

Suhde tiedetään ja kysytään kulmaa

Mieti, mitä kysytään, ennen kuin aloitat tehtävän tekemisen. Kun suhde tiedetään, voidaan suhteen arvo laskea. 
Suhteen arvon avulla lasketaan kulman suuruus.  Kulman suuruus lasketaan käänteisfunktion, esimerkiksi sin α−¹, avulla.

Esimerkki 1

Piirrä kolmio, kun \(\cos \alpha = \frac{2}{5}\), ja laske kulman \(\alpha\) suuruus.

Merkitään yhtälö, ja lasketaan suhteen \( \frac{2}{5}\) arvo.

Aluksi lasketaan suhteen arvo, jonka jälkeen otetan käänteisfunktio suhteen arvosta. Näin saadaan kulman suuruus.

\( \cos \alpha = \frac{2}{5}\)

\( \cos \alpha= 0,4 || \cdot cos^{-1}\)

\( \alpha = 66,¦421…º\)

\( \alpha \approx 66°\)

Yllä oleva merkintä tarkoittaa, että otetaan kosinin käänteisarvo molemmilta puolilta. Näin saadaan kulman suuruus tietoon.

Tarkista, että laskimessa on DEG asetus!

Laskimeen

\(0,4 \rightarrow\) 2nd \(\rightarrow \cos \)

tai

2nd \( \rightarrow \cos 0,4\)

Puhelimessa INV, jolloin \(\cos^{-1}\) tulee näkyviin.

Huom! Käänteisfunktiolla cos lähtee kulman edestä α pois ja vastaus saa yksiköksi asteen.

Esimerkki 2

Missä kulmassa harja nojaa seinään? Harjan pituus on \(1,8\) m, ja sen alaosa on \(40\) cm päässä seinästä.

Neljän vaiheen ratkaisu

Mieti kumpaa kulmaa kysytään. Kolmiossa on suorakulma ja lisäksi kaksi kulmaa. Yleensä kulmia merkitään α ja β.

1 Kuva ja tiedot.

Merkitse kuvaan kirjaimet ja kulmat

Trigonometrian laskuissa tiedot vaiheen voi jättää tekemättä!

α = ?

a = 40 cm

c = 180 cm

\(\sin \alpha = \frac{a}{c}\)

Oikea trigonometrinen funktio on mietittävä kuvan avulla.

3. Laskut

\( \sin \alpha = \frac{a}{c}\)

\( \sin \alpha = \frac{40}{180}\)

\( \sin \alpha =0,222… ||sin^{-1}\)

\( \alpha = 12,|826…° \)

\( \alpha \approx 13°\)

4. Vastaus

Harja nojaa seinään \(13^o\) kulmassa.

Teoria loppu.

Vihkotehtävät

Teoriakooste vihkoon kopioitavaksi

Vihkotehtävät

H1.Laske kulman \(\alpha\) suuruus. Laske vain a)-d).

H2. Laske \(\tan \alpha\):n arvo. Käytä tarvittaessa aluksi Pythagoraan lausetta. Ilmoita sivun pituus yhden desimaalin tarkkuudella.

i) Kulma \(\alpha\), kateetti on \(4\) ja hypotenuusa \(6\).

j) Kulma \(\beta\) ja kateettit ovat \(7\) ja \(6\).

H3. Määritä kulmien \(\alpha\) ja \(\beta\) suuruudet asteen kymmenyksen tarkkuudella.

i) Kulma \(\alpha\), kateetti on \(4\) ja hypotenuusa \(6\).

j) Kulma \(\beta\) ja kateettit ovat \(7\) ja \(6\).

H4. Laske suorakulmaisen kolmion kulmien suuruudet, kun tiedetään, että

a) toinen kateetti on \(4\) ja hypotenuusa \(7\)

b) toinen kateetti on \(7\) ja toinen \(9\).

H5. Laske.

a) Mikä on tikkaiden ja talon reunan väliin jäävän kulman suuruus, kun tikkaat yltävät \(5\) m korkeudelle?

b) Kuinka pitkät tikkaat ovat?

H6. Aurinko paistaa \(12\) m korkean talon takaa yläviistosta muodostaen maahan \(25\) m varjon. Mikä on auringon säteen ja maan välinen kulma?

Valinnanpaikka Hopea

Valinnanpaikkatesti

H7. Laske (määritä) \(\sin \alpha\) arvot kolmen desimaalin tarkkuudella.

Mikäli lasket kolmannen sivun pituuden, pyöristä vastaus kokonaisluvuksi, ennen kuin lasket sinin arvoa.

a) \(\alpha\) vastainen kateetti \(6\) ja kateetti \(7\)

b) \(\alpha\) vastainen kateetti \(9\) ja kateetti \(6\)

c) \(\alpha\) vastainen kateetti \(6\) ja kateetti \(9\)

d) hypotenuusa \(10\) ja \(\alpha\) vastainen kateetti \(6\)

e) \(\alpha\) vastainen kateetti \(5\) ja kateetti \(8\)

f) \(\alpha\) vastainen kateetti \(7\) ja kateetti \(11\)

H8. Laske suorakulmaisen kolmion kulmien suuruudet, kun tiedetään, että

a) toinen kateetti on \(8\) ja hypotenuusa \(9\)

b) toinen kateetti on \(4\) ja toinen \(8\).