Teoria
Teoria
Kolmio- ja ympyräpohjaisen lieriön pinta-ala ja tilavuus.
Lieriön tilavuus
Lieriön tilavuus on pohjan pinta-ala kertaa korkeus.
\(V = A_p \cdot h\)
Ap merkintä tarkoittaa pohjan pinta-alaa. Alaindekseillä merkitään eri pinta-aloja.
Kolmiopohjainen särmiö
Koska koko lieriön korkeus on h, niin kolmion korkeus merkitään tässä kirjaimella b. Piirrä kuva vihkoon.
Kolmiopohjaisen särmiön pohjana Ap on kolmio, joten kolmion muotoista pohjaa voidaan merkitä myös Ak.
Kolmion pinta-ala \(A_k\)
Kolmion pinta-ala lasketaan kanta a kertaa korkeus b jaettuna kahdella.
\(A_k = \frac{a\cdot b}{2}\)
Kolmio pohjaisen särmiön tilavuus on
\(V = A_k \cdot h\), eli \(V =\frac{ a \cdot b}{2} \cdot h\)
Kaavoja ei ole siis pakko yhdistää. Voit laskea aluksi pinta-alan ja sen jälkeen kertoa vastauksen korkeudella. Jos lasket kolmion pinta-alan ensin, ota monta desimaalia mukaan tilavuuden laskemiseen, ettei tule moninkertaista pyäristystä.
Kolmiopohjaisen särmiön kokonaispinta-ala \(A_{kok}\)
Lieriössä on kaksi pohjaa Ap ja vaippa Av. Kokonaispinta-ala Akok on kaksi kertaa pohjan pinta-ala + vaipan pinta-ala.
\(A_{\text{kok}}= 2 \cdot A_p+ A_V\)
Akok = kokonais pinta-ala Ap = pohjan pinta-ala Av = vaipan pinta-ala
Kolmoipohjainen lieriö avattuna. Ei piirretä.
Pohjan pinta-ala on \(A_p=A_k\)
Kolmion pinta-alan kaava on ylempänä, kuten seuraavan esimerkin kolmiopohjainen särmiökin.
Kolmiopohjaisen särmiön vaippa \(A_v\) voidaan jakaa kolmeen osaan:
\(A_1 = d \cdot h\)
Merkitse pinta-alat yllä piirtämääsi kuvaan seuraavasti.
\(A_2= c \cdot h \)
\(A_3= a \cdot h \)
Vaipan pinta-ala on
\(A_V= A_1+ A_2+ A_3= d \cdot h + c \cdot h + a \cdot h \)
Vaippa kolmion piirin \(p\) avulla
Kolmion piiri \( p= a+c+d\) ja vaipan korkeus on \(h\).
Piirrä aukaistun vaipan kuva vihkoon.
\(A_V = (a+c+d) \cdot h\)
Kun tiedät \(A_p\) ja \(A_V\):n, voit laskea kokonaispinta-alan.
\(A_{\text{kok}} = 2 \cdot A_p+ A_V\)
Kolmion puuttuvan sivun pituus
Kun kolmio on suorakulmainen, voidaan Pythagoraan lauseen avulla ratkaista puuttuvan sivun pituus.
Esimerkki 1
Ratkaise kuvan kolmiopohjaisesta särmiöstä hypotenuusa.
Piirrä kuva vihkoon.
Hypotenuusa c on kolmion pisin sivu. Kateetit a ja b muodostavat suoran kulman.
Hypotenuusa on
\(a^2 + b^2 = c^2\)
\(5,2^2 + 5,7^2 = c^2\)
\(27,04+32,49 = c^2\)
\(59,53 = c^2 ||√ \)
\(7,715… = c\)
\(c= 7,715… \)
\(c= 7,7 \)
Ympyrälieriön vaippa
Ympyrälieriön vaippa on suorakulmion muotoinen. Lieriön korkeus h on suorakulmion korkeus. Suorakulmion kanta on pohjan piiri p.
Piirrä alla oleva kuva ja tekstit vihkoon.
WC-rulla on ympyrälieriö, pahvi on lieriön vaippa. WC-rullan kuvaa ei piirretä vihkoon.
WC-rullan pääty on ympyrän muotoinen. Oletetaan, että tiedät p = piiri d = halkaisija r = säde
Ympyrän piiri \(p\), voidaan laskea halkaisijan \(d\) avulla.
\(p = d \cdot \pi\)
Piirrä ympyrä vihkoon ja merkitse siihen piiri p ja halkaisija d.
Pohjan \(A_p\) pinta-ala on
\(A_p= \pi r^2 = \pi \cdot r\cdot r \)
WC-paperirullassa vaippa on koko "kartonki". Kun rulla leikataan auki ja vaippa levitetään saadaan. Kuvaa ei tarvitse piirtää vihkoon.
Vaipan pohjana on ympyrän piiri p ja korkeus on h.
Vaipan pinta-ala \(A_V\) on
\(A_V= p \cdot h = d \cdot \pi \cdot h \)
piiri p = d · π, eli halkaisija · pii Kokonaispinta-alaa laskettaessa, mieti aina mitä kappale sisältää. Esim. Tässä kappaleessa on vain yksi pohja ja vaippa. Jos korkki olisi mukana, niin olisi kaksi pohjaa. Seuraavia kuvia ei piirretä vihkoon.
Kuvassa aukaistu ympyrälieriö, jossa on kaksi pohjaa.
Esimerkki 2
a) Kuinka paljon on yhden vessapaperi kierroksen pinta-ala? Lieriön korkeus on \(10\) cm.
b) Kuinka paljon on kokonaispinta-ala olettaen, että koko pohjakin olisi paperia?
(Kuvassa \(d = 11\) cm)
1. Kuva ja tiedot
Yksi kierros saadaan, kun merktään liitoskohta ja avataan rullaa (kuvat alla. Ei piirretä vihkoon).
\(A_V = p \cdot h \)
Kaavat voidaan yhdistää
\(A_V = \pi \cdot d \cdot h \)
3. Laskut
\(A_V = \pi \cdot d \cdot h \)
\(A_V = \pi \cdot 11 \cdot 10 \)
\(A_V = 3|45,575… \approx 300\)
4. Vastaus
Yhden kierroksen pinta-ala on noin \(300\) cm²
b)
1. Kuva ja tiedot
\(r = \frac{d}{2}=\frac{11 \text{ cm}}{2}=10,5 \text{ cm}\)
\(A_p = \pi \cdot r^2 \)
\(A_{\text{kok}}=2A_p + A_V\)
3. Laskut
\(A_p = \pi \cdot r^2 \)
\(A_p = \pi \cdot 5,5^2 \)
\(A_p = 50,033…\)
\(A_{\text{kok}}=2A_p + A_V\)
\(A_{\text{kok}}=2\cdot 50,033…\ cm^2 +345,575…\ cm^2\)
\(A_{\text{kok}}=4|45,641…\ cm^2\)
4. Vastaus
Kokonaispinta-ala on noin \(400\ cm^2\).
Teoria loppu.
Vihkotehtävät
Teoriakooste vihkoon kopioitavaksi
Vihkotehtävät
Laske tehtävät “neljällä” vaiheella.
H1. Laske kuvan ympyrälieriön
a) pohjan pinta-ala
b) tilavuus
c) vaipan pinta-ala
d) kokonaispinta-ala.
H2. Laske ympyrälieriön tilavuus ja kokonaispinta-ala, kun lieriön korkeus on \(4,5\) cm ja pohjaympyrän säde \(3\) cm.
H3. Kolmiopohjaisen lieriön pohjakolmio on suorakulmainen ja sen korkeus on \(5\) cm ja kanta \(8\) cm. Lieriön korkeus on \(12\) cm.
a) Laske kolmion hypotenuusan pituus.
b) Laske kappaleen tilavuus.
c) Laske kappaleen kokonaispinta-ala.
H4. Laske kuvan kappaleen kokonaispinta-ala sekä tilavuus.
H5. Laske kappaleen kokonaispinta-ala, kun pohjakolmion kateetit ovat \(5,2\) cm ja \(4,7\) cm ja särmiön korkeus on \(12,5\) m.
Käännä kolmiopohjainen särmiö pystyyn. Käytä Pythagoraan lausetta, jotta saat pohjakolmion hypotenuusan pituuden selville.
Valinnanpaikka Hopea
Testi
H6-H8 ei tarkistuslaskettu.
H6. Tee joko a), b) tai c) sen mukaan miten opettaja sanoo
a) Saat opettajalta kappaleen.
Laske sen tilavuus ja kokonaispinta-ala.
b) Laske luokastasi jonkin kappaleen tilavuus ja kokonaispinta-ala
(kaappi, pulpetti jne…).
c) Laske koulurakennuksestasi jonkin kappaleen tilavuus ja kokonaispinta-ala (kaappi, paloposti, sohva jne…)
H7. Laske ympyrälieriön tilavuus ja kokonaispinta-ala, kun lieriön korkeus on \(9,0\) cm ja pohjaympyrän säde \(3,0\) cm.
H8. Kolmiopohjaisen lieriön pohjakolmio on suorakulmainen ja sen korkeus on \(10\) cm ja kanta \(4\) cm. Lieriön korkeus on \(12\) cm.
a) Laske kolmion hypotenuusan pituus.
b) Laske kappaleen tilavuus.
c) Laske kappaleen kokonaispinta-ala.