Teoria

Hyvään arvosanaan vaaditaan, että kaavoja osaa muokata, eli kaavan avulla laskea esimerkiksi pinta-ala tai korkeus.

Lieriön pohjan pinta-alan \(A\) ratkaiseminen, kun tilavuus \(V\) ja korkeus \(h\) tiedetään

Ratkaistaan lieriön tilavuuden kaavasta pinta-ala yhtälön ratkaisumenetelmin.

\(V=A \cdot h||:h\)

\(\frac{V}{h}=A\)

Lieriön korkeuden \(h\) ratkaiseminen, kun tilavuus \(V\) ja pohjan pinta-ala \(A\) tiedetään

Ratkaistaan lieriön tilavuuden kaavasta korkeus yhtälön ratkaisumenetelmin.

\(V=A \cdot h||:A\)

\(\frac{V}{A}=h\)

Kartion korkeuden \(h\) ratkaiseminen, kun tilavuus \(V\) ja pohjan pinta-ala \(A\) tiedetään

Ratkaistaan kartion tilavuuden kaavasta korkeus yhtälön ratkaisumenetelmin.

\(V=\frac{A \cdot h}{3}||\cdot 3\)

\(3V=A \cdot h||: A\)

\(\frac{3V}{A}= h\)

Kartion pohjan pinta-alan \(A\) ratkaiseminen, kun tilavuus \(V\) ja korkeus \(h\) tiedetään

Ratkaistaan kartion tilavuuden kaavasta pinta-ala yhtälön ratkaisumenetelmin.

\(V=\frac{A \cdot h}{3}||\cdot 3\)

\(3V=A \cdot h||: h\)

\(\frac{3V}{h}= A\)

Pallon säteen \(r\) ratkaiseminen, kun pinta-ala \(A\) tiedetään

Ratkaistaan pallon pinta-alan kaavasta säde yhtälön ratkaisumenetelmin.

\(A=4\cdot \pi \cdot r^2||:4\)

\(\frac{A}{4}= \pi \cdot r^2||: \pi \)

\(\frac{A}{4 \pi}= r^2 || \surd\)

\(\sqrt{\frac{A}{4 \pi}}= \pm r\)

Pallon säteen \(r\) ratkaiseminen, kun tilavuus \(V\) tiedetään

Ratkaistaan pallon tilavuuden kaavasta säde yhtälön ratkaisumenetelmin.

\(V=\frac{4\cdot \pi \cdot r^3}{3}||\cdot 3\)

\(3V=4\pi \cdot r^3||: 4\pi \)

\(\frac{3V}{ 4\pi }= r^3|| \sqrt[3]{} \)

\(\sqrt[3]{\frac{3V}{ 4\pi }}= r \)

Suorakulmainen kolmio

Kateetit muodostavat suoran kulman. Hypotenuusa on kolmion pisin sivu. 
Suorakulmaisen kolmion laskuissa käytetään apuna sin, cos ja tan yhtälöitä sekä Pythagoraan lausetta.

Pythagoraan lause

Suorakulmaisen kolmion kateettien neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö.

\(a^2 + b^2 = c^2\)

Kuvassa on kolmiopohjainen särmiö. Varsinkin kokonaispinta-alaa  laskettaessa usein hypotenuusa pitää ratkaista.

Sin \(\alpha\)

Sini on kulman vastaisen kateetin suhde hypotenuusaan.

\(\sin \alpha = \frac{b}{c}\)

\(\sin \beta = \frac{a}{c}\)

Cos \(\alpha\)

Kosini on kulman viereisen kateetin suhde hypotenuusaan.

\(\cos \alpha = \frac{a}{c}\)

\(\cos \beta = \frac{b}{c}\)

Tan \(\alpha\)

Tangentti on kulman vastaisen kateetin suhde hypotenuusaan.

\(\tan \alpha = \frac{b}{a}\)

\(\tan \beta = \frac{a}{b}\)

Teoria loppu.

Vihkotehtävät

Tee tehtävät neljällä vaiheella.

H1. Pallon tilavuus on \(550\ cm^3\) laske pallon säde.

H2. Kartion tilavuus on \(4\) l ja pohjan pinta-ala on \(200\ dm^2\). Laske kartion korkeus.

H3. Ympyrälieriön pohjan pinta-ala on \(4000\ cm^2\) ja korkeus \(20\) dm. Laske tilavuus ja kokonaispinta-ala.

H4. Suorakulmaisen särmiön tilavuus on \(5,5\) l ja pohjan pinta-ala on \(3500\ cm^2\). Laske särmiön korkeus.

H5. Pallon pinta-ala on \(6750\ mm^2\). Laske pallon tilavuus.

Valinnanpaikka Hopea

H6. Ympyrälieriön pohjan pinta-ala on \(333\ dm^2\) ja tilavuus \(40\) l. Laske lieriön korkeus.

H7. Ympyräkartion pohjan pinta-ala on \(333\ dm^2\) ja tilavuus \(40\) l. Laske kartion korkeus.