Teoria
Teoria
Ympyrälieriön vaippa
Ympyrälieriön vaippa on suorakulmion muotoinen. Lieriön korkeus h on suorakulmion korkeus. Suorakulmion kanta on pohjan piiri p.
Piirrä alla oleva kuva ja tekstit vihkoon.
WC-rulla on ympyrälieriö, pahvi on lieriön vaippa. WC-rullan kuvaa ei piirretä vihkoon.
WC-rullan pääty on ympyrän muotoinen. Oletetaan, että tiedät p = piiri d = halkaisija r = säde
Ympyrän piiri \(p\), voidaan laskea halkaisijan \(d\) avulla.
\(p = d \cdot \pi\)
Piirrä ympyrä vihkoon ja merkitse siihen piiri p ja halkaisija d.
Pohjan \(A_p\) pinta-ala on
\(A_p= \pi r^2 = \pi \cdot r\cdot r \)
WC-paperirullassa vaippa on koko "kartonki". Kun rulla leikataan auki ja vaippa levitetään saadaan.
Vaipan pohjana on ympyrän piiri p ja korkeus on h.
Vaipan pinta-ala \(A_V\) on
\(A_V= p \cdot h = d \cdot \pi \cdot h \)
piiri p = d · π, eli halkaisija · pii Kokonaispinta-alaa laskettaessa, mieti aina mitä kappale sisältää. Esim. Tässä kappaleessa on vain yksi pohja ja vaippa. Jos korkki olisi mukana, niin olisi kaksi pohjaa.
Kuvassa aukaistu ympyrälieriö, jossa on kaksi pohjaa.
Esimerkki 2
a) Kuinka paljon on yhden vessapaperi kierroksen pinta-ala? Lieriön korkeus on \(10\) cm.
b) Kuinka paljon on kokonaispinta-ala olettaen, että koko pohjakin olisi paperia?
(Kuvassa \(d = 11\) cm)
1. Kuva ja tiedot
Yksi kierros saadaan, kun merktään liitoskohta ja avataan rullaa (kuvat alla. Ei piirretä vihkoon).
\(A_V = p \cdot h \)
Kaavat voidaan yhdistää
\(A_V = \pi \cdot d \cdot h \)
3. Laskut
\(A_V = \pi \cdot d \cdot h \)
\(A_V = \pi \cdot 11^2 \)
\(A_V = 3|45,575… \approx 300\)
4. Vastaus
Yhden kierroksen pinta-ala on noin \(300\) cm²
b)
1. Kuva ja tiedot
\(r = \frac{d}{2}=\frac{11 \text{ cm}}{2}=10,5 \text{ cm}\)
\(A_p = \pi \cdot r^2 \)
\(A_{\text{kok}}=2A_p + A_V\)
3. Laskut
\(A_p = \pi \cdot r^2 \)
\(A_p = \pi \cdot 5,5^2 \)
\(A_p = 50,033…\)
\(A_{\text{kok}}=2A_p + A_V\)
\(A_{\text{kok}}=2\cdot 50,033…\ cm^2 +345,575…\ cm^2\)
\(A_{\text{kok}}=4|45,641…\ cm^2\)
4. Vastaus
Kokonaispinta-ala on noin \(400\ cm^2\).
Teoria loppu.
Vihkotehtävät
Teoriakooste vihkoon kopioitavaksi
Vihkotehtävät
Laske tehtävät “neljällä” vaiheella.
H1. Laske kuvan ympyrälieriön
a) pohjan pinta-ala
b) tilavuus
c) vaipan pinta-ala
d) kokonaispinta-ala.
H2. Laske ympyrälieriön tilavuus ja kokonaispinta-ala, kun lieriön korkeus on \(4,5\) cm ja pohjaympyrän säde \(3\) cm.
H3. Kolmiopohjaisen lieriön pohjakolmio on suorakulmainen ja sen korkeus on \(5\) cm ja kanta \(8\) cm. Lieriön korkeus on \(12\) cm.
a) Laske kolmion hypotenuusan pituus.
b) Laske kappaleen tilavuus.
c) Laske kappaleen kokonaispinta-ala.
H4. Laske kuvan kappaleen kokonaispinta-ala sekä tilavuus.
H5. Laske kappaleen kokonaispinta-ala, kun pohjakolmion kateetit ovat \(5,2\) cm ja \(4,7\) cm ja särmiön korkeus on \(12,5\) m.
Käännä kolmiopohjainen särmiö pystyyn. Käytä Pythagoraan lausetta, jotta saat pohjakolmion hypotenuusan pituuden selville.
Valinnanpaikka Hopea
Testi
H6-H8 ei tarkistuslaskettu.
H6. Tee joko a), b) tai c) sen mukaan miten opettaja sanoo
a) Saat opettajalta kappaleen.
Laske sen tilavuus ja kokonaispinta-ala.
b) Laske luokastasi jonkin kappaleen tilavuus ja kokonaispinta-ala
(kaappi, pulpetti jne…).
c) Laske koulurakennuksestasi jonkin kappaleen tilavuus ja kokonaispinta-ala (kaappi, paloposti, sohva jne…)
H7. Laske ympyrälieriön tilavuus ja kokonaispinta-ala, kun lieriön korkeus on \(9,0\) cm ja pohjaympyrän säde \(3,0\) cm.
H8. Kolmiopohjaisen lieriön pohjakolmio on suorakulmainen ja sen korkeus on \(10\) cm ja kanta \(4\) cm. Lieriön korkeus on \(12\) cm.
a) Laske kolmion hypotenuusan pituus.
b) Laske kappaleen tilavuus.
c) Laske kappaleen kokonaispinta-ala.